算法题总结（一）——二分查找专题

二分查找

我们二分查找的本质就是每次能够通过中间值来进行分割，能够比较判断，查找到或者接近需要的数据，然后把一部分的数据丢弃掉。

原题

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

左闭右闭：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        // 避免当 target 小于nums[0]  大于nums[nums.length - 1]时多次循环运算
        if (target < nums[0] || target > nums[nums.length - 1]) {
            return -1;
        }
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);  //分割点
            if (nums[mid] == target)
                return mid;
            else if (nums[mid] < target)  //丢弃一部分
                left = mid + 1;
            else if (nums[mid] > target)
                right = mid - 1;
        }
        return -1;
    }
}

35.搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

我们使用二分法查不存在的数据时，最后left就是应该插入的位置！

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target)
                return mid;
            else if (nums[mid] < target)
                left = mid + 1;
            else if (nums[mid] > target)
                right = mid - 1;

            return left;// 最终的left返回了应该插入的位置


        }
    }

34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

//左右指针移动，先用二分法找到一个位置，然后左右移动判断

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {

        int[] result ={-1,-1};
        int index=binarySearch(nums,target);
        if(index==-1)
            return result;
        int left=index;
        int right=index;
        while(left-1>=0 && nums[left-1]==nums[index])
        {
            left--;
        }
        while(right+1<nums.length && nums[right+1]==nums[index])
        {
            right++;
        }
        result[0]=left;
        result[1]=right;
        return result;
    }

    public int binarySearch(int[] nums,int target)
    {
        int l=0;
        int r=nums.length-1;
        while(l<=r)
        {
            int mid=l+(r-l)/2;
            if(nums[mid]==target)
            {
                return mid;
            }
            else if(nums[mid]<target)
            {
                l=mid+1;
            }
            else if(nums[mid]>target)
            {
                r=mid-1;
            }
        }
        return -1;
    } 
}

69.X的平方根

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

使用二分法查找符合条件的元素

即找到一个平方比x小的最大的一个就行

即使用二分查找的方法在0-x之间找到一个符合的最大元素，由于是找一个符合的最大的元素，因此当小于号的时候，l=mid+1，即往右边去查找。

使用long进行类型转换是因为x的平方根相乘可能无法用int表示。

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {  //二分方法通用思想
        int l=0;
        int r=x;
        int ans=-1;
        while(l<=r)
        {
            int mid=l+(r-l)/2;
            if((long)mid*mid<=x)  //既满足ans=mid的条件，又满足l=mid+1的条件。
            {
                ans=mid;
                l=mid+1;
            }
            else{
                r=mid-1;
            }

        }
        return ans;
    }
}

367.有效的完全平方数

给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

示例 1：

输入：num = 16
输出：true
解释：返回 true ，因为 4 * 4 = 16 且 4 是一个整数。

示例 2：

输入：num = 14
输出：false
解释：返回 false ，因为 3.742 * 3.742 = 14 但 3.742 不是一个整数。

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) { //二分查找从0-num中间的数
        int left = 0;
        int right =num;

        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if((long)mid*mid==num)
                return true; 
            else if((long)mid*mid>num)   //分割
                right=mid-1;   //注意不要写成 right-1
            else if((long)mid*mid<num)
                left = mid + 1;

        }
        return false;

    }
}

74、搜索二维矩阵

给你一个满足下述两条属性的 m x n 整数矩阵：

每行中的整数从左到右按非严格递增顺序排列。
每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

给你一个整数 target ，如果 target 在矩阵中，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3
输出：true

和上面平方根那个题目一样，相当于不是精确的找，只是找到比target小的最大的一个就行

按照行查找的时候，不需要一定相等，只需要找到比target小的最大的一个就行。

class Solution {
    //两次二分查找，先搜索合适的行，再在这一行中搜索列。
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int index=search1(matrix,target);
        if(index==-1)   
            return false;
        return search2(matrix[index],target);
    }

    public int search1(int[][] matrix,int target)
    {
        int low=0;
        int high=matrix.length-1;
        int ans=-1;   //和上面平方根那个题目一样，相当于不是精确的找，只是找到比target小的 最大的一个就行
        while(low<=high)
        {
            int mid=low+(high-low)/2;
            if(matrix[mid][0]<=target)
            {   
                ans=mid;  //记录
                low=mid+1;  //分割缩小范围

            }
            else{
                high=mid-1;
            }
        }
        return ans;
    }

    public boolean search2(int[] row,int target)
    {
        int left=0;
        int right=row.length-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(row[mid]==target)    
                return true;
            else if(row[mid]>target)
                right=mid-1;
            else if(row[mid]<target)
                left=mid+1;
        }
        return false;
    }
}

33、搜索旋转排序数组

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], …, nums[n-1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

旋转数组使用中间值被分成有序和无序两部分，这样利用有序比较大小，就可以判断target的具体位置。

我们二分查找的本质就是每次能够通过中间值来进行分割，能够比较判断，查找到或者接近需要的数据，然后把一部分的数据丢弃掉。

class Solution {
    //分为有序数组和旋转数组
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left=0;
        int right=nums.length-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]==target)
                return mid;
            //注意此时用小于等于，因为mid可能和left相等
            //左边的有序
            if(nums[left]<=nums[mid])
            {
                //target在前半部分
                if(target>=nums[left] &&target<nums[mid])
                    right=mid-1;
                else
                    left=mid+1;
            }
            else  //后半部分有序
            {
                //且target在后半部分
                if(target<=nums[right]&&target>nums[mid])
                    left=mid+1;
                else
                    right=mid-1;
            }

        }
        return -1;
    }
}

153、寻找旋转排序数组中的最小值

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], …, a[n-1]]旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], …, a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

右旋，上一题是左旋。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

其实左旋右旋本质上都是一样的：我们可以模仿上一题，利用mid来分割数组，如果nums[left]<=nums[mid],说明mid左边是有序的，所以左边的最小值就是nums[left]，否则，mid的右边就是有序的，那么mid的右边部分nums[mid]就是最小值。

即我们二分查找的本质就是每次能够通过判断分割，能够查找到或者接近需要的数据，然后把一部分的数据丢弃掉。

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        //模仿第33题的思路,数组被分为有序和无序两个数组
        int left=0;
        int right=nums.length-1;
        int ans=nums[0];
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            //mid左边是有序的，知道mid左边是有序的，那么我们可以记录下来左边的最小值，然后就可以吧左边的丢弃了
            if(nums[left]<=nums[mid])
            {
                ans=Math.min(ans,nums[left]);  //记录
                left=mid+1;  //丢弃左边的
            }
            //mid右边是有序的
            else
            {
                ans=Math.min(ans,nums[mid]);
                right=mid-1;
            }
        }
        return ans;
    }
}